MAGNITUD DE UN VECTOR Y PRODUCTO CRUZ.

Introducción.

     Tendremos como planeación de este documento resolver lo s ejercicios de la asignación a cargo del docente, los cuales fueron vistos en la Unidad uno de la materia de Álgebra lineal, en el podremos observar su desarrollo

Magnitud y dirección de un vector.

     La magnitud es la longitud del segmento de recta que lo representa geométricamente. La magnitud de un vector con punto inicial en (a1, b1) y punto final en (a2, b2), es igual a:

√((〖a_2-a_1)〗^2+〖(b_2-b_1)〗^2 )

     La dirección de un vector se puede expresar como ángulo del eje horizontal esto es igual al ángulo θ, medido en radianes, que forma el vector con el lado positivo del eje X.

θ=〖tan〗^(-1) (|b|/|a| )

     Y como la dirección se da en ángulos medidos en radianes, tenemos que:

φ=π-θ

     El sentido de un vector está dado por la ubicación de su punto final con respecto de su punto inicial.

Instrucciones:

Determina la magnitud de los siguientes vectores:

            (3, 5) punto inicial (0,0)

√((〖a_2-a_1)〗^2+〖(b_2-b_1)〗^2 )=√((〖3-0)〗^2+〖(5-0)〗^2 )=√((9+25)) = √(34 ) = 5.8309         

            (7, -2) punto inicial (0,0)

√((〖a_2-a_1)〗^2+〖(b_2-b_1)〗^2 )=√((〖7-0)〗^2+〖((-2)-0)〗^2 )=√((49+2)) = √(51 ) = 7.1414                               

            (-7, -5) punto inicial (0,0)

√((〖a_2-a_1)〗^2+〖(b_2-b_1)〗^2)=√((〖(-7)-0)〗^2+〖((-5)-0)〗^2 )=√((49+25)) = √(74 ) = 8.6023

Encuentra la dirección y el sentido de los siguientes vectores.

u = (1, -6) punto inicial (0,0)

|a|=a_2-a_1= 1-0=1    ;    |b|=b_2-b_1= (-6)-0=|-6|=6

θ=〖tan〗^(-1) (|b|/|a| )= 〖tan〗^(-1) (|6|/|1| )= 〖tan〗^(-1) (6)=80.5376

φ=π-θ=180-80.5376= 99.4624, la dirección es hacia la derecha y hacia abajo.

b) v = (-11, -7) punto inicial (0,0)     

|a|=a_2-a_1= (-11)-0=|-11|=11     ;    |b|=b_2-b_1= (-7)-0=|-7|=7

θ=〖tan〗^(-1) (|b|/|a| )= 〖tan〗^(-1) (|7|/|11| )= 〖tan〗^(-1) (0.6363)=32.4711

φ=π-θ=180-32.4711= 147.5289, la dirección es a la izquierda y hacia abajo.

                                   

c) v  =  (1, 1) punto inicial (0,0)

|a|=a_2-a_1= 1-0=1     ;    |b|=b_2-b_1= 1-0=1

θ=〖tan〗^(-1) (|b|/|a| )= 〖tan〗^(-1) (|1|/|1| )= 〖tan〗^(-1) (1)=45

φ=π-θ=180-45=135, la dirección es a la derecha y hacia arriba.

Vectores unitarios.

     Es aquél que tiene módulo 1. Para hallar un vector unitario a partir de cualquier vector, hay que dividir este último por su módulo.

v/|v|

Instrucciones:

     Calcula los vectores unitarios de cada uno de los vectores que se te presentan a continuación.

u = (5, 2) punto inicial (0,0)

|u|=√((〖5-0)〗^2+〖(2-0)〗^2 )=√((25+4)) = √(29 ) = 5.3851

a=a_2-a_1= 5-0=5 ; b=b_2-b_1= 2-0=2

v/|v| =5,2/√(29 )=5/√(29 ),2/√(29 )

v = (6, 4) punto inicial (0,0)

|u|=√((〖6-0)〗^2+〖(4-0)〗^2 )=√((36+16)) = √(52 ) = 7.2111

a=a_2-a_1= 6-0=6 ; b=b_2-b_1= 4-0=4

v/|v| =6,4/√(52 )=6/√(52 ),4/√(52 )

w = (7, -2) punto inicial (0,0)

|u|=√((〖7-0)〗^2+〖((-2)-0)〗^2 )=√((49+4)) = √(53 ) = 7.2801

a=a_2-a_1= 7-0=7 ; b=b_2-b_1= (-2)-0= (-2)

v/|v| =(7,-2)/√53=7/√(53 ),(-2)/√(53 )

u = (-10, 8) punto inicial (0,0)

|u|=√((〖(-10)-0)〗^2+〖(8-0)〗^2 )=√((100+64)) = √(164 ) = 12.8062

a=a_2-a_1= (-10)-0= (-10) ; b=b_2-b_1= 8-0=8

v/|v| =(-10,8)/√(164 )=(-10)/√164,8/√(164 )

e) v = (4, 4) punto inicial (0,0)                                 

|u|=√((〖4-0)〗^2+〖(4-0)〗^2 )=√((16+16)) = √(32 ) = 5.6568

a=a_2-a_1= 4-0=4 ; b=b_2-b_1= 4-0=4

v/|v| =4,4/√(32 )=4/√(32 ),4/√(32 )

Igualdad de vectores.

     Dos vectores u y v son iguales, si todos sus componentes son iguales y se encuentran en el mismo orden, también son iguales si llevados al origen tienen el punto final igual.

Instrucciones:

     Determina si los siguientes puntos son extremos de vectores iguales, los puntos iniciales de los vectores son M y P,  los puntos finales de los mismos son N y Q respectivamente.

.a) M = (2, 4), N = (0, 1); P = (-9, -18) y Q = (-11, -21)

a_MN=a_2-a_1= 0-2= (-2)     ;    b_MN=b_2-b_1= 1-4= (-3)

a_PQ=a_2-a_1= (-11)-(-9)= (-2)     ;    b_PQ=b_2-b_1= (-21)-(-18)= (-3)

Si son iguales ya que los vectores son (-2,-3) y (-2,-3)

b) M = (- 2, - 6), N = (7, 11); P = (-37, 19) y Q = (-28, 36)

 a_MN=a_2-a_1= 7-(-2)=9     ;    b_MN=b_2-b_1= 11-(-6)=17

a_PQ=a_2-a_1= (-28)-(-37)=9     ;    b_PQ=b_2-b_1= 36-19=17

Si son iguales ya que los vectores son (9,17) y (9,17)

c) M = (9, 2), N = (4, 6); P = (-11, -11) y Q = (5, -4)

a_MN=a_2-a_1= 4-9= (-5)     ;    b_MN=b_2-b_1= 6-2=4

a_PQ=a_2-a_1= 5-(-11)=16     ;    b_PQ=b_2-b_1= (-4)-(-11)=7

No son iguales ya que los vectores son (-5,4) y (16,7)

Suma de vectores.

Sean los vectores u y v la suma de los vectores es:

u+v=(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)

Instrucciones:

            Encuentra la suma de los siguientes vectores

.a) u = (5, -3), v = (4, 2)

u+v=(a+c,b+d)=(5+4,(-3)+2)=(9,-1)        

                                                

.b) u = (1, 7), v = (2, -2)

u+v=(a+c,b+d)=(1+2,7+(-2))=(3,5)        

c) u = (-11, -6), v = (13, 9)                                                                 

u+v=(a+c,b+d)=((-11)+13,(-6)+9)=(2,3)         

            Encuentra la magnitud, dirección, sentido y el vector unitario del vector resultante de la suma de los vectores anteriores.

            (9,-1) punto inicial (0,0)

Magnitud =√((〖9-0)〗^2+〖((-1)-0)〗^2 )=√((81+1)) = √(82 ) = 9.0553

Dirección y sentido= |a|=a_2-a_1= 9-0=9    ;    |b|=b_2-b_1= (-1)-0=|-1|=1

θ=〖tan〗^(-1) (|b|/|a| )= 〖tan〗^(-1) (|1|/|9| )= 〖tan〗^(-1) (0.1111)=6.3401

φ=π-θ=180-6.3401= 173.6599, la dirección es hacia la derecha y hacia abajo.

Vector Unitario=v/|v| =(9,-1)/√(82 )=9/√(82 ),(-1)/√(82 )

(3,5) punto inicial (0,0)

Magnitud =√((〖3-0)〗^2+〖(5-0)〗^2 )=√((9+25)) = √(34 ) = 9.8309

Dirección y sentido= |a|=a_2-a_1= 3-0=3    ;    |b|=b_2-b_1= 5-0=5

θ=〖tan〗^(-1) (|b|/|a| )= 〖tan〗^(-1) (|5|/|3| )= 〖tan〗^(-1) (1.6666)=59.0362

φ=π-θ=180-59.0362= 120.9638, la dirección es hacia la derecha y hacia arriba.

Vector Unitario=v/|v| =3,5/√(34 )=3/√(34 ),5/√(34 )

(2,3) punto inicial (0,0)

Magnitud =√((〖2-0)〗^2+〖(3-0)〗^2 )=√((4+9)) = √(13 ) = 3.6055

Dirección y sentido= |a|=a_2-a_1= 2-0=2    ;    |b|=b_2-b_1= 3-0=3

θ=〖tan〗^(-1) (|b|/|a| )= 〖tan〗^(-1) (|3|/|2| )= 〖tan〗^(-1) (1.5)=56.3099

φ=π-θ=180-56.3099= 123.6901, la dirección es hacia la derecha y hacia arriba.

Vector Unitario=v/|v| =2,3/√(13 )=2/√(13 ),3/√(13 )

Resta de vectores.

     Dado un vector V se define el negativo de ese vector (-V) como un vector con la misma magnitud que V, la misma dirección, pero con sentido opuesto. La diferencia de dos vectores A y B se define como:

A - B = A + (-B)

De modo que podemos aplicar las reglas de su suma para restarlos.

Instrucciones:

Encuentra las diferencias u-v y v-u de los siguientes vectores.

.a) u = (1, 1, 2), v = (0, 2, 1)

u-v=(d-a,e-b,f-c)=(0-1,2-1,1-2)=(-1,1,-1)        

v-u=(a-d,b-e,c-f)=(1-0,1-2,2-1)=(1,-1,1)     

  

.b) u = (6, 0, 2), v = (3, 5, 1)

u-v=(d-a,e-b,f-c)=(3-6,5-0,1-2)=(-3,5,-1)        

v-u=(a-d,b-e,c-f)=(6-3,0-5,2-1)=(3,-5,1)        

c) u = (6, 1), v = (7, -1)    

u-v=(a-c,b-d)=(7-6,(-1)-1)=(1,-2)

v-u=(c-a,d-b)=(6-7,1-(-1))=(-1,2)

Producto escalar.

Si       y    ,   el producto escalar o producto punto       se define así:

En       y       el coseno del ángulo formado por los vectores no nulos   A   y   B   se puede escribir como:

Instrucciones:

     Encuentra el ángulo que existe entre los siguientes pares de vectores.

.a) u = 2i – 4j, v = 3i + 2j

|u|=√(2^2+(-〖4)〗^2 )=√(4+16)=√(20 )=4.4721

|v|=√(3^2+2^2 )=√(9+4)=√(13 )=3.6055

cos⁡〖θ =  (u∙v)/(|u|∙|v|)〗=((2i+(-4j))∙(3i+2j))/(√(13 )∙√(20 ))=(6+(-8))/(√(13 )∙√(20 ))=(-2)/(√(13 )∙√(20 ))〖θ=cos^(-1)〗⁡〖( (-2)/(√(13 )∙√(20 ))〗)≈97.1250°

       

.b) u = 6i – 11j, v = 11i + 9j

|u|=√(6^2+(-〖11)〗^2 )=√(36+121)=√(157 )=12.5299

|v|=√(〖11〗^2+9^2 )=√(121+81)=√(202 )=14.2126

cos⁡〖θ =  (u∙v)/(|u|∙|v|)〗=((6i+(-11j))∙(11i+9j))/(√(157 )∙√(202 ))=(66+(-99))/(√(157 )∙√(202 ))=(-33)/(√(157 )∙√(202 ))

〖θ=cos^(-1)〗⁡〖( (-33)/(√(157 )∙√(202 ))〗)≈100.6789°

c) u = i + j, v = – 5i + 7j         

|u|=√(1^2+1^2 )=√(1+1)=√(2 )=1.4142

|v|=√(〖(-5)〗^2+7)=√(25+49)=√(74  )=8.6023

cos⁡〖θ =  (u∙v)/(|u|∙|v|)〗=((i+j)∙((-5)i+7j))/(√(2 )∙√(74 ))=(-5+7)/(√(2 )∙√(74 ))=2/(√(2 )∙√(74 ))

〖θ=cos^(-1)〗⁡〖( 2/(√(2 )∙√(74 ))〗)≈80.5376°

Condición de perpendicularidad.

     Si consideramos que dos vectores u y v son perpendiculares, si su producto interno es igual a cero, es decir:

u∙v=0

Instrucciones:

Establece si los siguientes pares de vectores son o no perpendiculares entre sí.

.a) u = (3,5), v = (-5, 3)   

u∙v=(3i+5j)∙((-5)i+3j)=-15+15=0

Los vectores si son perpendiculares ya que el producto da como resultado 0.

  

.b) u = (8, -2), v = (-1, 4)

u∙v=(8i+(-2)j)∙((-1)i+4j)=-8+(-8)=-16

Los vectores no son perpendiculares ya que el producto da como resultado -16.

c) u = (0,4), v = (2, 0)

u∙v=(0i+4j)∙(2i+0j)=0+0=0

Los vectores si son perpendiculares ya que el producto da como resultado 0.

Producto cruz.

     El producto vectorial o producto cruz permite encontrar un vector perpendicular a los dos vectores involucrados. Esta expresión vectorial se puede también se puede expresar mediante el siguiente determinante:

Instrucciones:

Calcula el producto cruz de los siguientes vectores.

.a) u = i + j – k, v = 2i – 3j + 5k

u  ×  v  =   (b1 c2  -  b2 c1 ) i+ (a2 c1  - a1 c2 )j+(a1 b2  -  a2 b1)k               

u  ×  v  =   (1*5-(-3)*(-1))i+(2*(-1)-1*5)j +(1*(-3)-2*1)k

u  ×  v  =   (5-3)i+((-2)-5)j +((-3)-2)k=2i-7j-5k

b) u = 3i – 4j + 5k, v = 6j + k – 5k

u  ×  v  =   (b1 c2  -  b2 c1 ) i+ (a2 c1  - a1 c2 ) j+ (a1 b2  -  a2 b1) k               

u  ×  v  =   ((-4)*(-5)-1*5)i+(6*5-3*(-5))j +(3*1-6*(-4))k

u  ×  v  =   (20-5)i+(30-(-15))j +(3-(-24))k=15i+45j+27k

c) u = 11i + 15k, v = 2i + 2j + 2 k                                  

u  ×  v  =   (b1 c2  -  b2 c1 ) i+ (a2 c1  - a1 c2 ) j+ (a1 b2  -  a2 b1) k               

u  ×  v  =   (0*2-2*15)i+(2*15-11*2)j +(11*2-2*0)k

u  ×  v  =   (0-30)i+(30-22)j +(22-0)k=-30i+8j+22k

     Aplicación de vectores: resolución de problemas a través de las propiedades del producto punto y cruz.

Lee con atención el problema.

      Una empresa mexicana puso en marcha un proyecto de biotecnología en el que crearán plantas transgénicas, el objetivo es lograr una producción anual de cada uno de los siguientes productos: 75 Ton de café con mejor sabor, resistente a las plagas, con menos cafeína; 50 Ton de maíz resistente a los insectos; 40 Ton de girasol, con mejor composición de ácidos grasos. 80 Ton de manzana, resistente a las plagas y a los herbicidas; 150 Ton de melón más duradero; 200 Ton de papas, con menor capacidad de absorción de aceite, resistentes a las plagas; 95 Ton de lechugas resistentes a las plagas y 150 Ton de tomates resistentes a las plagas. La tonelada de café la venden en $40 000, la tonelada de maíz en $3, 000, la tonelada de girasol en $4 000, la tonelada de manzana en $15 000, la tonelada de melón en $3 500, la tonelada de papa en $7 000, la tonelada de lechugas en $2 000 y la de tomates en $4 000.

Con base en la información del problema.

.a) Representa las cantidades en toneladas de la producción anual de cada producto  mediante un vector.

U =(75,50,40,80,150,200,95,150)

.b) Representa el precio de venta de una tonelada de cada producto mediante un vector.

V =(40000,3000,4000,15000,3500,7000,2000,4000)

c) Encuentra el vector que representa la cantidad total que resulta de la venta de todos los productos.

v=(75*40000+50*3000+40*4000+80*15000+150*3500+200*7000+95*2000+150*4000)

v=(3000000+150000+160000+1200000+525000+1400000+190000+600000)

v=(7225000)