MAGNITUD DE UN VECTOR Y PRODUCTO CRUZ.
Introducción.
Tendremos como planeación de este
documento resolver lo s ejercicios de la asignación a cargo del docente, los
cuales fueron vistos en la Unidad uno de la materia de Álgebra lineal, en el
podremos observar su desarrollo
Magnitud y dirección de un
vector.
La magnitud es
la longitud del segmento de recta que lo representa geométricamente. La
magnitud de un vector con punto inicial en (a1, b1) y punto final en (a2, b2),
es igual a:
√((〖a_2-a_1)〗^2+〖(b_2-b_1)〗^2 )
La dirección de un vector se puede
expresar como ángulo del eje horizontal esto es igual al ángulo θ, medido en
radianes, que forma el vector con el lado positivo del eje X.
θ=〖tan〗^(-1)
(|b|/|a| )
Y como la dirección se da en ángulos
medidos en radianes, tenemos que:
φ=π-θ
El sentido de un vector está dado por la
ubicación de su punto final con respecto de su punto inicial.
Instrucciones:
Determina la magnitud
de los siguientes vectores:
(3, 5) punto
inicial (0,0)
√((〖a_2-a_1)〗^2+〖(b_2-b_1)〗^2
)=√((〖3-0)〗^2+〖(5-0)〗^2
)=√((9+25)) = √(34 ) = 5.8309
(7, -2) punto
inicial (0,0)
√((〖a_2-a_1)〗^2+〖(b_2-b_1)〗^2
)=√((〖7-0)〗^2+〖((-2)-0)〗^2
)=√((49+2)) = √(51 ) = 7.1414
(-7, -5) punto inicial (0,0)
√((〖a_2-a_1)〗^2+〖(b_2-b_1)〗^2)=√((〖(-7)-0)〗^2+〖((-5)-0)〗^2
)=√((49+25)) = √(74 ) = 8.6023
Encuentra la dirección
y el sentido de los siguientes vectores.
u = (1, -6) punto
inicial (0,0)
|a|=a_2-a_1= 1-0=1 ;
|b|=b_2-b_1= (-6)-0=|-6|=6
θ=〖tan〗^(-1)
(|b|/|a| )= 〖tan〗^(-1)
(|6|/|1| )= 〖tan〗^(-1)
(6)=80.5376
φ=π-θ=180-80.5376= 99.4624,
la dirección es hacia la derecha y hacia abajo.
b) v = (-11, -7) punto
inicial (0,0)
|a|=a_2-a_1=
(-11)-0=|-11|=11 ; |b|=b_2-b_1= (-7)-0=|-7|=7
θ=〖tan〗^(-1)
(|b|/|a| )= 〖tan〗^(-1)
(|7|/|11| )= 〖tan〗^(-1)
(0.6363)=32.4711
φ=π-θ=180-32.4711= 147.5289,
la dirección es a la izquierda y hacia abajo.
c) v = (1,
1) punto inicial (0,0)
|a|=a_2-a_1= 1-0=1 ;
|b|=b_2-b_1= 1-0=1
θ=〖tan〗^(-1)
(|b|/|a| )= 〖tan〗^(-1)
(|1|/|1| )= 〖tan〗^(-1)
(1)=45
φ=π-θ=180-45=135, la
dirección es a la derecha y hacia arriba.
Vectores unitarios.
Es aquél que tiene módulo 1. Para hallar
un vector unitario a partir de cualquier vector, hay que dividir este último
por su módulo.
v/|v|
Instrucciones:
Calcula los vectores unitarios de cada uno
de los vectores que se te presentan a continuación.
u = (5, 2) punto
inicial (0,0)
|u|=√((〖5-0)〗^2+〖(2-0)〗^2
)=√((25+4)) = √(29 ) = 5.3851
a=a_2-a_1= 5-0=5 ;
b=b_2-b_1= 2-0=2
v/|v| =5,2/√(29 )=5/√(29
),2/√(29 )
v = (6, 4) punto
inicial (0,0)
|u|=√((〖6-0)〗^2+〖(4-0)〗^2
)=√((36+16)) = √(52 ) = 7.2111
a=a_2-a_1= 6-0=6 ;
b=b_2-b_1= 4-0=4
v/|v| =6,4/√(52 )=6/√(52
),4/√(52 )
w = (7, -2) punto
inicial (0,0)
|u|=√((〖7-0)〗^2+〖((-2)-0)〗^2
)=√((49+4)) = √(53 ) = 7.2801
a=a_2-a_1= 7-0=7 ;
b=b_2-b_1= (-2)-0= (-2)
v/|v| =(7,-2)/√53=7/√(53
),(-2)/√(53 )
u = (-10, 8) punto
inicial (0,0)
|u|=√((〖(-10)-0)〗^2+〖(8-0)〗^2
)=√((100+64)) = √(164 ) = 12.8062
a=a_2-a_1= (-10)-0= (-10) ; b=b_2-b_1=
8-0=8
v/|v| =(-10,8)/√(164
)=(-10)/√164,8/√(164 )
e) v = (4, 4) punto
inicial (0,0)
|u|=√((〖4-0)〗^2+〖(4-0)〗^2
)=√((16+16)) = √(32 ) = 5.6568
a=a_2-a_1= 4-0=4 ;
b=b_2-b_1= 4-0=4
v/|v| =4,4/√(32 )=4/√(32
),4/√(32 )
Igualdad de vectores.
Dos vectores u y v son iguales, si todos
sus componentes son iguales y se encuentran en el mismo orden, también son
iguales si llevados al origen tienen el punto final igual.
Instrucciones:
Determina si los siguientes puntos son
extremos de vectores iguales, los puntos iniciales de los vectores son M y P, los puntos finales de los mismos son N y Q
respectivamente.
.a) M = (2, 4), N =
(0, 1); P = (-9, -18) y Q = (-11, -21)
a_MN=a_2-a_1= 0-2= (-2) ;
b_MN=b_2-b_1= 1-4= (-3)
a_PQ=a_2-a_1= (-11)-(-9)=
(-2) ; b_PQ=b_2-b_1= (-21)-(-18)= (-3)
Si son iguales ya que los
vectores son (-2,-3) y (-2,-3)
b) M = (- 2, - 6), N =
(7, 11); P = (-37, 19) y Q = (-28, 36)
a_MN=a_2-a_1= 7-(-2)=9 ;
b_MN=b_2-b_1= 11-(-6)=17
a_PQ=a_2-a_1=
(-28)-(-37)=9 ; b_PQ=b_2-b_1= 36-19=17
Si son iguales ya que los
vectores son (9,17) y (9,17)
c) M = (9, 2), N = (4,
6); P = (-11, -11) y Q = (5, -4)
a_MN=a_2-a_1= 4-9= (-5) ;
b_MN=b_2-b_1= 6-2=4
a_PQ=a_2-a_1=
5-(-11)=16 ; b_PQ=b_2-b_1= (-4)-(-11)=7
No son iguales ya que los
vectores son (-5,4) y (16,7)
Suma de vectores.
Sean los vectores u y
v la suma de los vectores es:
u+v=(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)
Instrucciones:
Encuentra la suma de los siguientes
vectores
.a) u = (5, -3), v =
(4, 2)
u+v=(a+c,b+d)=(5+4,(-3)+2)=(9,-1)
.b) u = (1, 7), v =
(2, -2)
u+v=(a+c,b+d)=(1+2,7+(-2))=(3,5)
c) u = (-11, -6), v =
(13, 9)
u+v=(a+c,b+d)=((-11)+13,(-6)+9)=(2,3)
Encuentra la magnitud, dirección,
sentido y el vector unitario del vector resultante de la suma de los vectores
anteriores.
(9,-1) punto inicial (0,0)
Magnitud =√((〖9-0)〗^2+〖((-1)-0)〗^2
)=√((81+1)) = √(82 ) = 9.0553
Dirección y sentido= |a|=a_2-a_1=
9-0=9 ; |b|=b_2-b_1= (-1)-0=|-1|=1
θ=〖tan〗^(-1)
(|b|/|a| )= 〖tan〗^(-1)
(|1|/|9| )= 〖tan〗^(-1)
(0.1111)=6.3401
φ=π-θ=180-6.3401= 173.6599,
la dirección es hacia la derecha y hacia abajo.
Vector Unitario=v/|v|
=(9,-1)/√(82 )=9/√(82 ),(-1)/√(82 )
(3,5) punto inicial
(0,0)
Magnitud =√((〖3-0)〗^2+〖(5-0)〗^2
)=√((9+25)) = √(34 ) = 9.8309
Dirección y sentido=
|a|=a_2-a_1= 3-0=3 ; |b|=b_2-b_1= 5-0=5
θ=〖tan〗^(-1)
(|b|/|a| )= 〖tan〗^(-1)
(|5|/|3| )= 〖tan〗^(-1)
(1.6666)=59.0362
φ=π-θ=180-59.0362= 120.9638,
la dirección es hacia la derecha y hacia arriba.
Vector Unitario=v/|v|
=3,5/√(34 )=3/√(34 ),5/√(34 )
(2,3) punto inicial
(0,0)
Magnitud =√((〖2-0)〗^2+〖(3-0)〗^2
)=√((4+9)) = √(13 ) = 3.6055
Dirección y sentido=
|a|=a_2-a_1= 2-0=2 ; |b|=b_2-b_1= 3-0=3
θ=〖tan〗^(-1)
(|b|/|a| )= 〖tan〗^(-1)
(|3|/|2| )= 〖tan〗^(-1)
(1.5)=56.3099
φ=π-θ=180-56.3099= 123.6901,
la dirección es hacia la derecha y hacia arriba.
Vector Unitario=v/|v|
=2,3/√(13 )=2/√(13 ),3/√(13 )
Resta de vectores.
Dado un vector V se define el negativo de
ese vector (-V) como un vector con la misma magnitud que V, la misma dirección,
pero con sentido opuesto. La diferencia de dos vectores A y B se define como:
A - B = A + (-B)
De modo que podemos aplicar las reglas de su suma
para restarlos.
Instrucciones:
Encuentra las
diferencias u-v y v-u de los siguientes vectores.
.a) u = (1, 1, 2), v =
(0, 2, 1)
u-v=(d-a,e-b,f-c)=(0-1,2-1,1-2)=(-1,1,-1)
v-u=(a-d,b-e,c-f)=(1-0,1-2,2-1)=(1,-1,1)
.b) u = (6, 0, 2), v =
(3, 5, 1)
u-v=(d-a,e-b,f-c)=(3-6,5-0,1-2)=(-3,5,-1)
v-u=(a-d,b-e,c-f)=(6-3,0-5,2-1)=(3,-5,1)
c) u = (6, 1), v = (7,
-1)
u-v=(a-c,b-d)=(7-6,(-1)-1)=(1,-2)
v-u=(c-a,d-b)=(6-7,1-(-1))=(-1,2)
Producto escalar.
Si y
, el producto escalar o producto
punto se define así:
En y
el coseno del ángulo formado por los vectores no nulos A y B se
puede escribir como:
Instrucciones:
Encuentra el ángulo que existe entre los
siguientes pares de vectores.
.a) u = 2i – 4j, v =
3i + 2j
|u|=√(2^2+(-〖4)〗^2
)=√(4+16)=√(20 )=4.4721
|v|=√(3^2+2^2 )=√(9+4)=√(13
)=3.6055
cos〖θ
= (u∙v)/(|u|∙|v|)〗=((2i+(-4j))∙(3i+2j))/(√(13
)∙√(20 ))=(6+(-8))/(√(13 )∙√(20 ))=(-2)/(√(13 )∙√(20 ))〖θ=cos^(-1)〗〖(
(-2)/(√(13 )∙√(20 ))〗)≈97.1250°
.b) u = 6i – 11j, v =
11i + 9j
|u|=√(6^2+(-〖11)〗^2
)=√(36+121)=√(157 )=12.5299
|v|=√(〖11〗^2+9^2
)=√(121+81)=√(202 )=14.2126
cos〖θ
= (u∙v)/(|u|∙|v|)〗=((6i+(-11j))∙(11i+9j))/(√(157
)∙√(202 ))=(66+(-99))/(√(157 )∙√(202 ))=(-33)/(√(157 )∙√(202 ))
〖θ=cos^(-1)〗〖(
(-33)/(√(157 )∙√(202 ))〗)≈100.6789°
c) u = i + j, v = – 5i
+ 7j
|u|=√(1^2+1^2 )=√(1+1)=√(2
)=1.4142
|v|=√(〖(-5)〗^2+7)=√(25+49)=√(74 )=8.6023
cos〖θ
= (u∙v)/(|u|∙|v|)〗=((i+j)∙((-5)i+7j))/(√(2
)∙√(74 ))=(-5+7)/(√(2 )∙√(74 ))=2/(√(2 )∙√(74 ))
〖θ=cos^(-1)〗〖(
2/(√(2 )∙√(74 ))〗)≈80.5376°
Condición de perpendicularidad.
Si consideramos que dos vectores u y v son
perpendiculares, si su producto interno es igual a cero, es decir:
u∙v=0
Instrucciones:
Establece si los
siguientes pares de vectores son o no perpendiculares entre sí.
.a) u = (3,5), v =
(-5, 3)
u∙v=(3i+5j)∙((-5)i+3j)=-15+15=0
Los vectores si son
perpendiculares ya que el producto da como resultado 0.
.b) u = (8, -2), v =
(-1, 4)
u∙v=(8i+(-2)j)∙((-1)i+4j)=-8+(-8)=-16
Los vectores no son
perpendiculares ya que el producto da como resultado -16.
c) u = (0,4), v = (2,
0)
u∙v=(0i+4j)∙(2i+0j)=0+0=0
Los vectores si son
perpendiculares ya que el producto da como resultado 0.
Producto cruz.
El producto vectorial o producto cruz
permite encontrar un vector perpendicular a los dos vectores involucrados. Esta
expresión vectorial se puede también se puede expresar mediante el siguiente
determinante:
Instrucciones:
Calcula el producto
cruz de los siguientes vectores.
.a) u = i + j –
k, v = 2i – 3j + 5k
u × v
= (b1 c2 - b2
c1 ) i+ (a2 c1 - a1 c2 )j+(a1 b2 - a2 b1)k
u × v
= (1*5-(-3)*(-1))i+(2*(-1)-1*5)j
+(1*(-3)-2*1)k
u × v
= (5-3)i+((-2)-5)j
+((-3)-2)k=2i-7j-5k
b) u = 3i – 4j + 5k, v = 6j + k – 5k
u × v
= (b1 c2 - b2 c1
) i+ (a2 c1 - a1 c2 ) j+ (a1 b2 - a2 b1)
k
u × v
= ((-4)*(-5)-1*5)i+(6*5-3*(-5))j
+(3*1-6*(-4))k
u × v
= (20-5)i+(30-(-15))j +(3-(-24))k=15i+45j+27k
c) u = 11i + 15k, v = 2i + 2j + 2 k
u × v
= (b1 c2 - b2
c1 ) i+ (a2 c1 - a1 c2 ) j+ (a1 b2 - a2 b1)
k
u × v
= (0*2-2*15)i+(2*15-11*2)j
+(11*2-2*0)k
u × v
= (0-30)i+(30-22)j
+(22-0)k=-30i+8j+22k
Aplicación
de vectores: resolución de problemas a través de las propiedades del producto
punto y cruz.
Lee con atención el problema.
Una empresa mexicana puso en marcha un
proyecto de biotecnología en el que crearán plantas transgénicas, el objetivo
es lograr una producción anual de cada uno de los siguientes productos: 75 Ton
de café con mejor sabor, resistente a las plagas, con menos cafeína; 50 Ton de
maíz resistente a los insectos; 40 Ton de girasol, con mejor composición de
ácidos grasos. 80 Ton de manzana, resistente a las plagas y a los herbicidas;
150 Ton de melón más duradero; 200 Ton de papas, con menor capacidad de
absorción de aceite, resistentes a las plagas; 95 Ton de lechugas resistentes a
las plagas y 150 Ton de tomates resistentes a las plagas. La tonelada de café
la venden en $40 000, la tonelada de maíz en $3, 000, la tonelada de girasol en
$4 000, la tonelada de manzana en $15 000, la tonelada de melón en $3 500, la
tonelada de papa en $7 000, la tonelada de lechugas en $2 000 y la de tomates
en $4 000.
Con base en la información del problema.
.a) Representa las
cantidades en toneladas de la producción anual de cada producto mediante un vector.
U =(75,50,40,80,150,200,95,150)
.b) Representa el
precio de venta de una tonelada de cada producto mediante un vector.
V =(40000,3000,4000,15000,3500,7000,2000,4000)
c) Encuentra el vector
que representa la cantidad total que resulta de la venta de todos los
productos.
v=(75*40000+50*3000+40*4000+80*15000+150*3500+200*7000+95*2000+150*4000)
v=(3000000+150000+160000+1200000+525000+1400000+190000+600000)
v=(7225000)
